Основные тождества алгебры логики

Тема: Основні поняття та закони бульової алгебри. Логічні функції бульового базису. Поняття логічного елементу.

Цель:Ознакомиться с основными понятиями. Изучить главные функции, тождества и законы алгебры логики.

План:

1. Главные понятия и законы булевой алгебры

2. Логические функции булевого базиса:

o Логическая функция И.

o Логическая функция Либо.

o Логическая функция НЕ.

3. Понятие логического Основные тождества алгебры логики элемента.

Ход лекции

1) Хоть какое цифровое электрическое устройство в процессе работы делает определенную последовательность операций, которую сформировывают на базе математической теории, сделанной в 1848 году ирландским ученым Дж. Булем и известной под заглавием алгебра логики либо Булева алгебра.

Выражение это такое предложение, которое может соответствовать реальности, а может не соответствовать Основные тождества алгебры логики. В первом случае его именуют настоящим (1), в другом – неверным (0). В алгебре логики выражение является переменной, которая может иметь одно из 2-ух вероятных значений и над которой можно делать деяния.

По смыслу выражения делят на обыкновенные и сложные. Если выражение содержит одно какое-либо замечание, сообщение либо утверждение, то его Основные тождества алгебры логики именуют обычным.

Используя выражения и их логические значения, можно рассматривать работу электронных схем.

Обозначим выражение «выключатель включен» через х, а выражение «лампочка светит» через у.
+ –
Е
SA
HL


Если выключатель включен, т.е., х=1, в цепи проходит электронный ток и лампа пылает, означает, у=1.

Если выключен, то выражение х неверно Основные тождества алгебры логики (х=0), т.к. у=0.

Таким макаром, можно составить цепочку логических рассуждений:

х у


х = 1 ® у = 1

х = 0 ® у = 0

Алгебра логики оперирует с переменными, которые принимают два значения: правды и не правды, т.е. 0 либо 1. Такая переменная именуются двоичными аргументами и обозначают Х; они могут быть связаны меж собой разными Основные тождества алгебры логики логическими операциями (лог. сложением, лог. умножением и т.д.). Логическая функция может быть представлена разным числом логических операций над двоичными аргументами.

Логические функции, представляющие одну логическую операцию, именуются простыми либо основными логическими функциями. Логическая функция f (х1, х2,…,хn) также как и х1×х2×х3×…хn, от которых она зависит, может Основные тождества алгебры логики принимать значение или 0, или1.

Главные законы алгебры логики

№ п/п Законы Математическая запись
Идемпотентные (Тавтологии) Х × Х = Х; Х + Х = Х
Переместительные (коммутативные) Х1 + Х2 =Х2 + Х1; Х1 · Х2 = Х2 · Х1
Сочетательные (Ассоциативные) (Х1 + Х2) + Х3 = Х1 + (Х2 + Х3) (Х1 · Х2) · Х3 = Х1 · (Х2 · Х3)
Распределительные (Дистрибутивные Основные тождества алгебры логики) (Х1 + Х2) · Х3 = Х1 · Х3 + Х2 · Х3 (Х1 · Х2) + Х3 = (Х1 + Х3) · (Х2 + Х3)
Законы отрицания Х + = 1; Х × = 0; Х + 0 = Х; Х + 1 = 1; Х × 1 = Х; Х × 0 = 0
Двойного отрицания
Двойственности (аксиомы де Моргана)
Поглощения ; x + A × x = x; × X2 + X1 = X1 + X2 ( + X2) × X1 = X1 × X2
Операции склеивания x × A + × A = A

Главные тождества алгебры Основные тождества алгебры логики логики

№ п/п Теорема
1. x = 0, если x ¹ 1; x = 1, если x ¹ 0.
2. 1 V 1 = 1; 0 V 0 = 0
3. 0 ∙ 0 = 0; 1 ∙ 1 = 1
4. 0 V 1 = 1 V 0 = 1; 1 ∙ 0 = 0 ∙ 1 = 0
5. = 1; = 0

2) Логическая функция И именуется конъюнкцией и делает операцию логического умножения, (×, L, &):

у = х1 × х2 = х1 L х2 = х1 & х2 = х1 х2;

f (х1, х2,…,хn) = х1×х2×х3×…хn

Функция И равна 1 только при Основные тождества алгебры логики равенстве всех аргументов 1, т.е., если х1=1, х2=1, хn=1. Значения аргументов и функции записывают в таблицу, которая именуется таблицей истинности. Для логической функции с n количеством входных переменных выходит 2n входных композиций, т.е. двухэлементная функция имеет четыре входные композиции, а трехэлементная – восемь и т.д. Нередко операцию И именуют Основные тождества алгебры логики операцией логического умножения (т.к. таблица истинности данной операции подобна таблице умножения 0 и 1).

х1 х2 y = х1×х2

Логическая функция Либо именуется дизъюнкцией и делает операцию логического сложения, (+,V,1):

у = х1 V х2;

f (х1, х2,…,хn) = х1Vх2Vх3V…хn.

Функция Либо равна 1, если Основные тождества алгебры логики хотя бы один из аргументов х1, либо х2, либо хn равен 1. Выражение у будет неверным только тогда, когда оба выражения х1 и х2 будут неверны. Нередко операцию Либо именуют логической суммой (т.к. 1-ые три соотношения таблицы подобны сложению 2-ух чисел).

х1 х2 y = х1V х2

Логическая функция НЕ Основные тождества алгебры логики именуется инверсией и делает функцию логического отрицания ( – символ инверсии).

Функция НЕ равна 1, если аргумент равен 0.

х

Логические элементы – это простые схемы, электрические модели логических функций. Соединяя эти схемы-модели меж собой по определенным методам, можно выстроить цифровые устройства хоть какой трудности.

Простые цифровые элементы должны делать три простые логические Основные тождества алгебры логики операции (сложения, умножения и отрицания), к которым можно свести всякую др. операцию. Пример: Либо, И, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Зависимо от технологии производства ИС разделяются на серии (семейства), различающиеся физическими параметрами базисных частей, также числом и многофункциональным предназначением входящих в их состав микросхем. Под серией понимают совокупа типов Основные тождества алгебры логики ИС, которые могут делать разные функции, имеют единое конструктивно-технологическое выполнение и созданы для совместного внедрения. В текущее время создано несколько 10-ов технологий производства ИС.

Более обширное распространение получили микросхемы транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ), эмиттерно-связанные интегральные логические элементы (ЭСЛ) и схемы на МОП (металл – окисел – полупроводник) – структурах.

Любая разработка Основные тождества алгебры логики безпрерывно совершенствуется с целью роста быстродействия ИС, уменьшения потребляемой мощности и роста степени интеграции — числа частей, размещенных на кристалле данной площади.

Логический элемент И

Х1
Х2
Х1 ∙ Х2
&


Логический элемент, выполняющий конъюнкцию, именуют логическим элементом И (конъюнктор). Логический элемент И дает на выходе напряжение только тогда, когда на все его входы Основные тождества алгебры логики подается напряжение: х1=1; х2=1 → у=1, в других случаях у=0.

+
Х1
Х2
Y
E
HL
Из схемы видно, что когда оба выключателя будут замкнуты. (х1=1, х2=1), то в цепи от источника питания будет идти электронный ток, т.е. лампочка зажгется от приложенного V (y=1). Во всех других Основные тождества алгебры логики случаях лампочка не зажгется (у=0).

Логический элемент Либо

Функцию дизъюнкции делает логический элемент Либо (дизъюнктор).

+
X1
X2
E
HL
Y

Х1
Х2
Х1 Ú Х2


Итог работы логического элементаИЛИ – возникновение выходного напряжения тогда, когда U подано хотя бы на один из входов, т.е. х1=0, х1=0→у=0, в других случаях у=1.

Логический элемент Основные тождества алгебры логики НЕ

Логическую функцию НЕ делает логический элемент НЕ.

Х


Логический элемент НЕимеет один вход и один выход.

Если на входе есть напряжение, которое соответствует лог. 1, то на выходе напряжение соответствует лог. 0., и напротив, т.е. х=1→у=0; х=0→у=1.

Y
E
+
R


Если выключатель разомкнут, т.е. х=0, то Основные тождества алгебры логики через лампу идет ток и к ней будет приложено V(y=1), лампа пылает.

Если выключатель замкнут (х=1), то ток пройдет через контакты выключателя и на лампе V не будет (у=0), лампа не пылает.

Если выходы одних частей соединить со входами других, то получим схему, реализующую более сложную функцию.

Совокупа разных типов Основные тождества алгебры логики частей, достаточных для проигрывания хоть какой логической функции, именуется логическим базисом.

Элементы И, НЕ представляют таковой базис. Элемент типа Либо может быть получен соединением И и НЕ.

X1
X2
X1
X2
&
X1·X2
Y
Y
X1
X2


Элементы И, Либо, НЕ именуются одноступенчатыми, т.к. они реализуют Основные тождества алгебры логики одну логическую функцию.

Контрольные вопросы.

1. Что именуется выражением?

2. Дайте определение логической функции

3. Перечислите главные логические операции.

4. Что именуют таблицей истинности?

5. Перечислите главные тождества алгебры логики.

6. Дайте определение логического базиса.

Литература:

1. Калабеков Б.А., Мамзелев И.А. Цифровые устройства и МПС, - М.: Радио и связь, 1987. Стр. 95-106.

2. Евреинов Э.В., Цифровая и Основные тождества алгебры логики вычислительная техника, - М.: Радио и связь, 1991. Стр. 39-53.

3. Васильев В.И., Гусев Ю.М. Электрические промышленные устройства, - М.: Высшая школа, 1988. Стр. 63-73.

4. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Проектирование дискретных устройств на интегральных микросхемах, -М.: Радио и связь, 1990. Стр. 5-7.


osnovnie-termini-i-opredeleniya-ispolzuemie-v-godovom-otchete-godovoj-otchet-otkritogo-akcionernogo-obshestva-energetiki.html
osnovnie-termini-i-opredeleniya-po-discipline-teoriya-organizacii.html
osnovnie-termini-i-opredeleniya-v-oblasti-eksportnogo-kontrolya.html